マルチンゲール測度

マルチンゲール測度とは？

マルチンゲール測度とは、割引後の資産価格が時間の経過とともに公平に推移するものとして資産を評価するため、金融数学で用いられる確率測度です。

暗号資産分野では、オプション、先物、仕組み商品、無期限先物に類似したエクスポージャー、その他デジタル資産に連動する契約などのデリバティブを評価する際に特に関連する用語です。

マルチンゲール測度は、リスク中立測度または同値マルチンゲール測度とも呼ばれます。

基本的な考え方は、この特別な測度の下では、資産の将来の割引価格の期待値が現在価格と等しくなるというものです。

これは、実際のトレーダーが現実世界でリスクに中立であることを意味しません。

リスクプレミアムを別途加えるのではなく、現在価格に織り込むように確率の見方を変えることを意味します。

簡単に言うと、マルチンゲール測度は、裁定機会がない場合にデリバティブがいくらになるべきかを考えるための数学的な視点です。

そのため、マルチンゲール測度はオプション価格評価、リスク中立評価、無裁定モデルの中心となります。

暗号資産でマルチンゲール測度が重要な理由

デジタル資産市場ではデリバティブ取引が活発で、ボラティリティが高く、リスクが急速に変化するため、マルチンゲール測度は重要です。

暗号資産のオプション、先物、仕組み商品には、現在の資産価格と将来起こり得るペイオフを結び付ける価格評価モデルが必要です。

CME Groupのビットコイン先物オプションに関する解説ページでは、ビットコイン先物オプションの取引にあたり、トレーダーが満期日と権利行使価格を選ぶと説明されています。

ペイオフは満期時の原資産価格によって決まるため、この2つはデリバティブの価格評価における基本的な要素です。

マルチンゲール測度を使うと、将来起こり得るペイオフを現在価値に換算できます。

これは、公正価値を体系的に考える必要があるマーケットメイカー、リスクチーム、トレーダー、プロトコル設計者、研究者にとって有用です。

ただし、暗号資産市場は、教科書的なモデルで用いられる単純化された前提に反することがよくあります。

そのため、マルチンゲール測度は有用ですが、万能ではありません。

マルチンゲールとは？

マルチンゲールとは、現在の情報に基づく将来価値の期待値が現在価値と等しくなる過程です。

平易に言えば、「公平なゲーム」のモデルです。

割引後の資産価格がマルチンゲールである場合、モデル上では、時間価値を調整した後に期待できるただ乗りの利益はないことを意味します。

これは、資産価格が横ばいになるという意味ではありません。

価格は大きく上昇することも下落することもあります。

重要なのは、選択した確率測度の下で、裁定機会が生じるような形で割引後の期待価値が上昇または下落し続けることはないという点です。

カーネギーメロン大学のリスク中立測度に関する講義資料では、リスク中立測度の下では、割引後のヘッジポートフォリオがマルチンゲールになると説明されています。

マルチンゲール測度の仕組み

マルチンゲール測度は、価格評価モデルで用いる確率の重み付けを変えます。

現実世界の確率測度は、トレーダーが実際に起こり得ると考える事象を表します。

リスク中立確率測度は、割引後の資産価格がマルチンゲールとして振る舞うようにする確率を表します。

例えば、投資家がボラティリティ、流動性リスク、不確実性に対する補償を求めるため、現実世界では暗号資産の期待リターンが無リスク金利を上回ることがあります。

マルチンゲール測度の下では、モデルは割引後の価格過程から、現実世界で期待される超過リターンを取り除きます。

その結果は、実際の市場の方向性を予測するものではありません。

価格評価のためのツールです。

これにより、デリバティブ価格はマルチンゲール測度の下で期待されるペイオフを割り引いた値として表せます。

単純化すると、価格はリスク中立測度の下での期待ペイオフの現在価値に等しくなります。

マルチンゲール測度と無裁定価格評価

無裁定価格評価とは、コストをかけずにリスクなしの利益を得られるモデルにならないようにすることです。

マルチンゲール測度は、この考え方と密接に関係しています。

資産価格評価の基本定理を簡略化して言うと、裁定機会のない市場には、同値マルチンゲール測度が存在することが関係しています。

コロンビア大学のマルチンゲール価格評価に関する講義資料では、同値マルチンゲール測度が存在すれば、そのモデルに裁定機会は存在しないと述べられています。

この関係は、価格評価、確率、市場の整合性を結び付ける点で重要です。

暗号資産分野では、オプションの価格評価、先物ベーシスの確認、現物価格とデリバティブ価格の比較、自動化された金融商品の設計に無裁定の考え方が用いられます。

それでも、実際の暗号資産市場には遅延、手数料、流動性の不足、取引コスト、執行上の制約が存在する可能性があります。

こうした摩擦により、理論上の裁定機会を実際に捉えることが難しくなったり、不可能になったりする場合があります。

同値マルチンゲール測度

同値マルチンゲール測度とは、どの事象が起こり得るかについて現実世界の測度と一致するマルチンゲール測度です。

「同値」は、確率が同じという意味ではありません。

両方の測度が、同じ事象を起こり得る、または起こり得ないものとして扱うという意味です。

価格評価モデルが、起こり得ない事象を可能であるかのように扱ったり、起こり得る事象を不可能とみなしたりしてはいけないため、これは重要です。

デリバティブモデルでは、同値マルチンゲール測度を使うことで、市場の基本的な状態空間を維持しながら、割引後の資産価格をマルチンゲールにできます。

完備市場では、同値マルチンゲール測度が1つだけ存在する場合があります。

不完備市場では、複数存在する場合があります。

暗号資産市場では、すべてのリスクを完全にヘッジできるとは限らないため、不完備であることがよくあります。

リスク中立測度と現実世界の測度の比較

現実世界の測度は、予測、リスク管理、実際の市場で何が起こる可能性があるかの推定に用いられます。

リスク中立測度は、無裁定の前提に基づいてデリバティブを評価するために用いられます。

この2つの測度から導かれる期待値は、大きく異なる場合があります。

トレーダーは、現実世界の測度の下で暗号資産に長期的なプラスの期待リターンがあると考える場合があります。

一方、リスク中立測度の下では、割引後の期待価格はマルチンゲール条件に従います。

この違いが、初心者がオプション価格を誤解しやすい理由の1つです。

オプションモデルは、単に資産がどの方向へ動くかを問うものではありません。

現在の市場価格、ボラティリティ、金利、ヘッジの前提と整合するペイオフをどう評価するかを問うものです。

マルチンゲール測度と暗号資産オプション

マルチンゲール測度が用いられることが最も明確に分かる分野の1つが、暗号資産オプションです。

コールオプションは、権利行使価格を上回る上昇へのエクスポージャーを提供します。

プットオプションは、権利行使価格を下回る下落へのエクスポージャーを提供します。

どちらのオプションの価値も、価格評価に用いる測度の下での原資産の将来の分布によって決まります。

多くのオプションモデルでは、リスク中立測度またはマルチンゲール測度の下で期待ペイオフを計算し、現在価値に割り引きます。

CME GroupのインプライドボラティリティとGreeksのページには、オプション分析に用いるインプライドボラティリティ、デルタ、ガンマ、シータ、ベガ、ロー、マネーネスなどのデータが掲載されています。

これらのツールはリスク中立価格評価に関連しています。インプライドボラティリティは、多くの場合、モデル価格を市場価格に一致させるボラティリティの入力値となるためです。

デジタル資産は大きく変動し、24時間取引されるため、暗号資産オプションのインプライドボラティリティは非常に高くなる場合があります。

マルチンゲール測度と無期限先物

無期限先物は暗号資産市場で一般的ですが、単純な教科書的マルチンゲールモデルには当てはめにくい面があります。

無期限契約には、通常の満期日がありません。

通常は、契約価格を現物市場に近づけるため、資金調達の仕組みを利用します。

理論上、無裁定価格評価では、無期限先物価格、現物価格、資金調達率、証拠金ルール、強制決済リスクが相互に結び付けられます。

実際には、資金調達料、レバレッジ、流動性、強制決済によって価格過程が複雑になる場合があります。

それでも、マルチンゲール測度は研究者やリスクチームが価格評価モデルを構築するうえで役立ちます。

ただし、モデルには契約固有の資金調達と証拠金の設計を反映させる必要があります。

資金調達を無視すると、公正価値の推定が誤解を招く可能性があります。

マルチンゲール測度とステーブルコイン

ステーブルコインは、担保資産、決済資産、またはクォート資産として使われることが多いため、暗号資産の価格評価モデルに登場する場合があります。

マルチンゲール測度モデルでは、ステーブルコインを決済資産として現金に近いものとみなす場合がありますが、この前提にはリスクがあります。

ステーブルコインには、準備金リスク、償還リスク、発行体リスク、スマートコントラクトリスク、ペッグ乖離リスクが伴う場合があります。

クォート資産に実際はない無リスク性をモデルが仮定すると、デリバティブ価格やヘッジ比率が誤ったものになる可能性があります。

多くの取引で、従来の現金ではなくデジタル資産を証拠金、担保、決済に使う暗号資産市場では、これは特に重要です。

適切なモデルでは、ニュメレールを明確に定義する必要があります。

ニュメレールとは、価格評価の基準として用いる資産です。

マルチンゲール測度とオラクル

オンチェーンデリバティブやDeFiプロトコルでは、価格オラクルが必要となることがよくあります。

オラクルは、外部市場データをスマートコントラクトに提供します。

理論上の価格評価にマルチンゲール測度を利用できても、スマートコントラクトには現物価格、ボラティリティの推定値、金利、資金調達データなど、信頼できる入力値が必要です。

オラクルデータに遅延があったり、操作されたり、不完全だったりすると、モデルが安全でない結果を出す可能性があります。

そのため、数学的な価格評価と実際のプロトコルのセキュリティとの間に隔たりが生じます。

数式が正しくても、入力データに問題があれば機能しない場合があります。

暗号資産デリバティブでは、オラクルの設計や市場のマイクロストラクチャーも価格評価上のリスクの一部です。

完備市場と不完備市場

完備市場とは、利用可能な資産を取引することで、考えられるすべてのデリバティブのペイオフを複製できる市場です。

完備市場では、同値マルチンゲール測度は通常1つに定まります。

不完備市場とは、一部のリスクを完全にヘッジできない市場です。

不完備市場では、複数のマルチンゲール測度が存在する場合があります。

暗号資産市場は、流動性の制約、取引所の分断、スマートコントラクトリスク、オラクルリスク、ジャンプリスク、担保の制約などから、不完備であることがよくあります。

そのため、暗号資産デリバティブの公正価値が1つに定まらない場合があります。

ボラティリティの前提、ジャンプリスク、資金調達コスト、流動性リスクに応じて、モデルごとに異なる価格が算出される可能性があります。

マルチンゲール測度とボラティリティ

ボラティリティはデリバティブの価格評価における重要な要素です。

予想ボラティリティが高いほど、価格が権利行使価格から大きく離れる可能性が高まるため、通常はオプションの価値が上昇します。

リスク中立価格評価で用いるボラティリティは、過去の価格変動だけでなく、将来の不確実性に対する市場価格を反映する必要があります。

そのため、インプライドボラティリティは非常に重要です。

インプライドボラティリティとは、価格評価モデルを観測されたオプション価格に一致させるボラティリティの水準です。

暗号資産のインプライドボラティリティは、ニュース、強制決済、主要なプロトコルイベント、マクロ市場の混乱などを受けて急速に変化する場合があります。

古いボラティリティデータを使うマルチンゲール測度モデルは、すぐに精度が低下する可能性があります。

マルチンゲール測度とモンテカルロ価格評価

モンテカルロ価格評価とは、デリバティブの価値を推定するためのシミュレーション手法です。

マルチンゲール測度の下では、モデルを使って将来の価格経路を多数シミュレーションし、それぞれの経路についてペイオフを計算できます。

その後、平均ペイオフを割り引いてデリバティブ価格を推定します。

単純な計算式が存在しない複雑な暗号資産商品に役立ちます。

例として、経路依存型オプション、仕組み利回り商品、バリアオプション、資金調達率に連動する商品などが挙げられます。

モンテカルロ価格評価は、モデルの前提に大きく左右されます。

シミュレーションした過程が市場の実際の動きを反映していなければ、結果は誤解を招く可能性があります。

マルチンゲール測度とマルチンゲール取引戦略の違い

マルチンゲール測度は、マルチンゲール取引戦略と同じものではありません。

マルチンゲール取引戦略とは通常、損失が出た後にポジションサイズを増やし、次の勝ちトレードで過去の損失を取り戻そうとする方法を指します。

この戦略は、特にレバレッジを利用する暗号資産市場では非常にリスクが高くなる可能性があります。

マルチンゲール測度は、確率論や金融で用いられる数学的な価格評価の概念です。

2つの用語には「マルチンゲール」という言葉が含まれていますが、混同してはいけません。

一方は価格評価ツールです。

もう一方は、損失を大きくする可能性があるポジションサイズの調整方法です。

マルチンゲール測度のメリット

1つ目のメリットは、価格評価の規律です。

マルチンゲール測度は、将来のペイオフを評価するための体系的な方法をトレーダーや研究者に提供します。

2つ目のメリットは、無裁定との整合性です。

マルチンゲール測度に基づくモデルは、明らかなただ乗り利益を生む矛盾を避けようとします。

3つ目のメリットは、リスク中立評価です。

特別な確率測度の下で期待ペイオフを割り引くことで、デリバティブを評価できます。

4つ目のメリットは、モデルの比較です。

異なる暗号資産オプションや仕組み商品を、共通の価格評価用語を使って比較できます。

5つ目のメリットは、ヘッジ分析の改善です。

リスクチームは、Greeks、ヘッジ比率、シナリオ別の結果、モデル誤差をより明確に分析できます。

マルチンゲール測度の限界

1つ目の限界は、モデルリスクです。

マルチンゲール測度はモデルの中でのみ機能し、そのモデルが誤っている可能性があります。

2つ目の限界は、市場の摩擦です。

暗号資産市場には、手数料、スリッページ、遅延、流動性の不足、取引場所の分断があります。

3つ目の限界は、ジャンプリスクです。

ニュース、強制決済、ハッキング、マクロ経済のショックを受けて、暗号資産価格が急激に飛ぶことがあります。

4つ目の限界は、担保リスクです。

暗号資産デリバティブでは、ボラティリティが高い資産やペッグが外れる可能性のある資産を証拠金として用いる場合があります。

5つ目の限界は、市場が不完備であることです。

多くの暗号資産リスクは完全にヘッジできないため、複数のマルチンゲール測度が存在する可能性があります。

6つ目の限界は、スマートコントラクトとオラクルのリスクです。

オンチェーンの価格評価モデルは、コード、データ、執行に関する前提に問題が生じると、機能しなくなる可能性があります。

暗号資産ユーザーがマルチンゲール測度をどう捉えるべきか

暗号資産ユーザーは、マルチンゲール測度を予測エンジンではなく、価格評価の枠組みとして捉える必要があります。

暗号資産が上昇、下落、横ばいのいずれになるかを示すものではありません。

無裁定の前提の下で、不確実な将来のペイオフをモデルがどのように評価できるかを示すものです。

ユーザーがモデルを現実世界の予測だと考えると、デリバティブ価格が分かりにくくなるため、この違いは重要です。

オプション価格が高い場合、インプライドボラティリティの高さ、強いヘッジ需要、流動性の低さ、市場の緊張などが反映されている可能性があります。

市場が将来の特定の価格を予測していると直ちに意味するわけではありません。

価格評価モデルは、流動性の確認、リスク上限、担保分析、市場環境と組み合わせて利用してください。

マルチンゲール測度に関するよくある誤解

よくある誤解の1つは、マルチンゲール測度が実際の将来価格を予測するというものです。

実際の価格を予測するのではなく、リスク中立の枠組みでデリバティブを評価するのに役立ちます。

もう1つの誤解は、リスク中立とはリスクが重要でないという意味だというものです。

リスクは依然として重要ですが、モデルでは現在価格と調整された確率を通じてリスクを考慮します。

3つ目の誤解は、マルチンゲール測度が常に存在し、必ず1つに定まるというものです。

不完備な市場や複雑な市場では、複数の測度が存在する場合や、明確に当てはまる測度が存在しない場合があります。

4つ目の誤解は、教科書的な無裁定モデルが暗号資産市場で完全に機能するというものです。

実際の暗号資産市場には、手数料、分断された流動性、資金調達率、強制決済、スマートコントラクトリスク、オラクルリスクがあります。

5つ目の誤解は、マルチンゲール測度とマルチンゲール賭け戦略を混同することです。

価格評価の概念は、損失後に賭け金を倍にすることを推奨するものではありません。

FAQ

マルチンゲール測度を簡単に言うと何ですか？

マルチンゲール測度とは、割引後の価格が公平なゲームのように振る舞うように資産を評価するための特別な確率の見方です。

マルチンゲール測度はリスク中立測度と同じですか？

はい。多くの金融分野では、マルチンゲール測度とリスク中立測度は、同じ基本的な価格評価の考え方を指します。

暗号資産でマルチンゲール測度が使われるのはなぜですか？

無裁定の前提の下で、オプション、先物連動商品、仕組みペイオフなどの暗号資産デリバティブを評価するために使われます。

マルチンゲール測度は暗号資産価格を予測しますか？

いいえ。現実の価格予測ではなく、価格評価のためのツールです。

同値マルチンゲール測度とはどういう意味ですか？

確率の重みを変えながら、どの市場の事象が起こり得るか、または起こり得ないかを維持する測度です。

マルチンゲール測度は無裁定とどのように関係しますか？

適切な前提の下で、金融理論では裁定機会が存在しないことと、同値マルチンゲール測度の存在が結び付けられています。

マルチンゲール測度が複数存在することはありますか？

はい。すべてのリスクを完全にヘッジできない不完備市場では、複数のマルチンゲール測度が存在する場合があります。

暗号資産市場は完備市場ですか？

通常は完備市場ではありません。流動性の不足、急変、オラクルリスク、担保リスク、取引環境の分断があるためです。

マルチンゲール測度は無期限先物に役立ちますか？

役立つ場合がありますが、モデルに資金調達率、証拠金ルール、強制決済リスク、担保の設計を反映させる必要があります。

マルチンゲール測度はマルチンゲール戦略と同じですか？

いいえ。マルチンゲール測度は価格評価の概念である一方、マルチンゲール戦略は通常、損失後に取引サイズを増やすことを意味します。

まとめ

マルチンゲール測度は、デリバティブ価格評価と無裁定金融の重要な概念です。

暗号資産分野では、リスク中立評価を用いてオプション、先物連動商品、仕組みペイオフ、その他のデリバティブをどう評価できるかを説明するのに役立ちます。

マルチンゲール測度の下では、モデル内で割引後の資産価格が公平なゲームのように振る舞います。

これにより、将来のデリバティブのペイオフを一貫した方法で現在価値に換算できます。

この概念は有用ですが、暗号資産市場では前提が成り立ちにくい場合があります。

暗号資産は、ボラティリティが高く、流動性が分断され、資金調達率、ジャンプリスク、担保リスク、スマートコントラクトリスク、オラクルリスクを伴う市場で取引されています。

そのため、マルチンゲール測度は有用なモデルとして扱うべきであり、公正価値や将来のパフォーマンスを保証するものではありません。

暗号資産ユーザーにとって、マルチンゲール測度を理解する最良の方法は、価格評価の視点として捉えることです。

デリバティブの評価をより体系的に行うのに役立ちますが、実際の取引判断には、引き続きリスク管理、流動性への配慮、慎重な判断が必要です。